APLIKASI STASTISTIK BOLTZMANN PADA BERBAGAI BASARAN GAS

widya57phisicsedu.wordpress.com

Jurnal Pendidikan Fisika edisi 1 November 2013

APLIKASI STASTISTIK BOLTZMANN PADA

BERBAGAI BASARAN GAS

Eko prayetno, Khoirunnah, Meriyati,Nurlaili Masliha,

Siffa Fauziyah, Umi Masitoh, Yuli Ika Kurnia Wati

Jurusan Pendidikan Fisika Institut Agama Islam Negeri Raden Intan Lampung

Jl. Endro suratmin no 156, Sukarame, Bandar Lampung

Email :bolztmann.statistik@gmail.com

ABSTRAK

Dalam jurnal ini diuraikan secara kronologis aplikasi statistik boltzmann pada berbagai besaran gas, dari riwayat hidup Boltzmann yang merupakan seorang Austria fisikawan yang terkenal atas kontribusi pendirian dalam bidang mekanika statistik dan termodinamika statistic, Teori statistik boltzmann yang sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Aplikasi statistik boltzmann, hingga gas ideal klasik.

Kata Kunci: riwayat hidup boltzmann, teori statistik boltmann, aplikasi statistik boltzmann, gas ideal klasik.

November 2013

1.      Pendahuluan

Beberapa besaran gas merupakan salah satu cabang dari fisika statistik yang berhadapan dengan laju rata-rata dan laju dengan peluang maksimum [Abdullah, 2009]. Salah satu yang mendasari yaitu persamaan ditribusi Maxwell-Boltzmann yang melingkupi aplikasi yang cukup luas.

Dalam memahami beberapa besaran gas yang diturunkan dari fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann. Terlebih dahulu kita harus memahami teori tentang satistik Maxwell-Boltzmann secara umum baik dari postulat maupun persamaan umumnya.

Selanjutnya Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi zarah klasik “terbedakan”. Sistem zarah klasik terbedakan merupakan sistem zarah yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih zarah dipertukarkan. Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi zarah dalam berbagai tingkat energi.

Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua zarah dianggap tak terbedakan. Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas mampat.

Sebelum kita menentukan laju gas yang memiliki peluang maksimum. Diketauhi bahwa fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann memprediksi bahwa pada suhu tertentu laju partikel gas tidak seragam. Oleh sebab itu tujuan dari tulisan ini adalah untuk memaparkan tentang laju rata-rata dan laju dengan peluang maksimum yang menggunakan persamaan distribusi Maxwell-Boltzmann.

2.  Riwayat Hidup Boltzmann

Ludwig Eduard Boltzmann (20 Februari 1844 - September 5, 1906) adalah seorang Austria fisikawan terkenal atas kontribusi pendirian dalam bidang mekanika statistik dan termodinamika statistik . Dia adalah salah satu yang penting pendukung paling untuk teori atom pada saat yang model ilmiah masih sangat kontroversial.

Boltzmann lahir di Wina , ibukota Kekaisaran Austria . Ayahnya, Georg Ludwig Boltzmann, adalah seorang pejabat pajak. Kakeknya, yang telah pindah ke Wina dari Berlin , adalah produsen jam, dan ibu Boltzmann, Katharina Pauernfeind, pada awalnya dari Salzburg. Dia menerima pendidikan dasar dari seorang tutor pribadi di rumah orang tuanya. Boltzmann bersekolah menengah di Linz , Upper Austria . Pada usia 15, Boltzmann kehilanganayahnya.

Boltzmann belajar fisika di Universitas Wina , mulai tahun 1863. Di antara guru-gurunya adalah Josef Loschmidt , Joseph Stefan , Andreas von Ettingshausen dan Jozef Petzval . Boltzmann menerima gelar PhD pada tahun 1866 bekerja di bawah supervisi dari Stefan; disertasinya adalah pada teori kinetik gas. Pada tahun 1867 ia menjadi Privatdozent (dosen). Setelah memperoleh gelar doktor, Boltzmann bekerja dua tahun lagi sebagai asisten Stefan's. Itu yang memperkenalkan Stefan Boltzman pada Maxwell bekerja.

Pada tahun 1869 pada usia 25, ia diangkat sebagai Profesor penuh Matematika Fisika di Universitas Graz di Provinsi Styria . Pada tahun 1869 ia menghabiskan beberapa bulan di Heidelberg bekerja dengan Robert Bunsen dan Leo Königsberger dan kemudian pada tahun 1871 ia bersama Gustav Kirchhoff dan Hermann von Helmholtz di Berlin. Pada tahun 1873 Boltzmann bergabung dengan Universitas Wina sebagai Profesor Matematika dan di sana ia tinggalhingga1876.

Ludwig Boltzmann dan rekan kerja di Graz, 1887. (Berdiri, dari kiri) Nernst , Streintz , Arrhenius , Hiecke, (duduk, dari kiri) Aulinger, Ettingshausen , Boltzmann, Klemenčič , Hausmanninger

Pada tahun 1872, jauh sebelum perempuan masuk ke universitas Austria, ia bertemu dengan Henriette von Aigentler, calon guru matematika dan fisika di Graz.

Dia menolak izin untuk tidak resmi audit kuliah. Boltzmann menyarankan dia untuk mengajukan banding, yang dia lakukan, berhasil. Pada 17 Juli 1876 Ludwig Boltzmann Henriette menikah, mereka memiliki tiga anak perempuan dan dua anak. Boltzmann kembali ke Graz untuk mengambil kursi of Experimental Fisika. Di antara murid-muridnya di Graz adalah Svante Arrhenius dan Walther Nernst . [1] [2] Dia menghabiskan 14 tahun bahagia di Graz dan di sanalah ia mengembangkan konsep statistik tentang alam. Pada tahun 1885 ia menjadi anggota Kekaisaran Austria Akademi Ilmu Pengetahuan dan pada tahun 1887 ia menjadi Presiden Universitas Graz. Ia terpilih menjadi anggota Royal Swedish Academy of Sciencespadatahun1888.

Boltzmann diangkat Ketua Teoritis Fisika di University of Munich di Bavaria , Jerman pada tahun 1890. Pada tahun 1893, Boltzmann berhasil gurunya Joseph Stefan sebagai Profesor Fisika Teoretis di Universitas Wina .

3.       Teori Statistik Boltzmann

Statistika Maxwell-Boltzmann sering digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2. Ketika gagasan di atas diimplementasikan akan dihasilkan distribusi (Boltzmann) biasa bagi partikel dalam berbagai tingkat energi. Fungsi distribusi ini menghasilkan hasil yang kurang fisis untuk entropi, sebagaimana ditunjukkan dalam “paradoks Gibbs”. Namun, masalah itu tidak muncul pada peninjauan statistik ketika semua partikel dianggap tak terbedakan.

Pada statistik statistik Maxwell-Boltzmann dipandang enam dimensi dari pergerakan molekul, yakni tiga dimensi kedudukan dan tiga dimensi kecepatan. Ruang enam dimensi seperti yang dimaksudkan ini disebut ruang fasa. Selanjutnya ruang fasa ini masih dibagi lagi ke dalam volume kecil enam dimensi yang disebut sel. Molekul terbagi ke dalam sel ini dan terjadilah distribusi molekul menurut sel. Distribusi jumlah molekul dalam sel tanpa memandang molekul secara individu disebut status makro dari sistem sedangkan penentuan molekul tertentu (secara individu) dalam tiap status makro disebut status mikro dari sistem. Kemudianjumlah status mikro terhadap status makro tertentu dinamakan probabilitas termodinamik. Dalam metoda statistik ini dilakukan penentuan probabilitas termodinamik dan selanjutnya ditentukan pula hubungan dari probabilitas termodinamik dengan masalah tenaga-dalam untuk selanjutnya memperoleh jumlah molekul dalam sel.

Secara khusus, statistika Maxwell-Boltzmann berguna untuk mempelajari berbagai sifat gas. Secara matematis distribusi Boltzmann lebih umum dikenal sebagai Pengukuran Gibbs.

Distribusi Boltzmann untuk fraksi banyaknya partikel ke i yang memiliki energi E_i, N_i / N dinyatakan:

Keterangan:

1.      dimana  adalah Konstanta Boltzmann,

2.       T adalah suhu (tertentu),

3.       adalah degenerasi (artinya, banyaknya tingkatan energi

4.       terkadang, lebih umum disebut sebagai 'keadaan' yang menyatakan tingkatannya, untuk menghindari penggunaan degenerasi dalam persamaan),

5.       N  adalah jumlah partikel total,

6.      Z(T)  adalah fungsi partisi.

Dengan kata lain, untuk sistem tunggal pada suhu tertentu, hal ini memberikan probabilitas bahwa sistem mempunyai keadaan tertentu. Distribusi Boltzmann hanya berlaku untuk partikel pada suhu yang cukup tinggi dan massa jenis yang cukup rendah sehingga efek kuantum dapat diabaikan, dan partikel mengikuti Statistik Maxwell–Boltzmann .

Distribusi Boltzmann sering menggunakan lambang β = 1/kT dimana β adalah sebagai Beta termodinamika. Lambang atau ,yang memberikan kemungkinan relatif dari suatu keadaan (unnormalised), disebut sebagai Faktor Boltzmann dan sering muncul dalam studi kimia dan fisika.

Ketika energi partikel hanya berupa energi kinetik

Maka distribusi yang diberikan adalah Distribusi Maxwell–Boltzmann yang menyatakan kecepatan molekul gas, sesuai dengan yang telah diramalkan oleh Maxwell pada tahun 1859. Namun distribusi Boltzmann lebih menyatakan hal yang lebih umum. Sebagai contoh, distribusi Boltzmann digunakan untuk memprediksi variasi dari massa jenis partikel dalam medan gravitasi dengan ketinggian, maka . Pada kenyataannya distribusi ini berlaku ketika pertimbangan kuantum diabaikan.

Pada beberapa kasus tertentu, pendekatan kontinyu bisa digunakan. jika terdapat keadaan g(E) dE dengan energi Euntuk E + dE, maka distribusi Boltzmann menyatakan probabilitas didtribusi untuk energi:

Maka g(E) disebut sebagai massa jenis suatu keadaan jika energi spektrum bersifat kontinyu. Partikel klasik dengan distribusi energi ini dikatakan mengikuti Statistik Maxwell–Boltzmann.

Dalam batasan klasik , i.e. besarnya harga atau kecilnya harga massa jenis dari keadaan — maka fungsi gelombang dari partikel tidak tumpang tindih — baik dengan Bose–Einstein maupun Fermi–Dirac menjadi distribusi Boltzmann.

4.       Aplikasi Statistik Boltzmann

Misalkan secara kuantitatif perilaku suatu sistem dinyatakan dengan fungsi yang dapat direpresentasikan dengan enam koordinat dan . Selanjutnya distribusi sistem terhadap ke seluruh tingkat energi yang tersedia diketahui, maka kita dapat menyatakan nilai rataan dalam bentuk distribusi.

Jika terdapat sistem dengan koordinat , maka peluang menemukan sistem tersebut dalam elemen ruang fase tersebut dapat ditulis dengan

Dimana adalah jumlah total sistem dan adalah fungsi peluangnya. Maka:

Harga rataan dapat diperoleh dengan menggunakan rataan statistik normal, yakni:

Dalam hal ini integral dilakukan terhadap daerah dalam seluruh ruang dan untuk mudahnya integral pada bagian penyebut nilainya diambil sama dengan satu. Substitusi ke persamaan sebelumnya menghasilkan

Substitusi dilakukan dengan dengan mengambil harga

Misalkan perilaku sistem dinyatakan dalam yang merupakan fungsi  koordinat sistem, maka rataannya dapat dinyatakan dengan

Dimana  adalah kebolehjadian bahwa assembly memiliki  koordinat dalam elemen ruang fase . Integral dilakukan ke seluruh ruang dalam ruang fase.

Peluang bahwa koordinat seluruh sistem berada dalam ruang fase  adalah merupakan perkalian peluang masing-masing , dimana sistem yang ke-i koordinatnya berada dalam ruang elemen dimensi enam . Jadi

Dalam hal ini  sehingga

dengan menggunakan persamaan 3.2 dalam bentuk

                                         

Karena  energi total assembly , maka

    

Jadi rataan variabel  adalah

Namun keterbatasan dari apa yang kita bicarakan adalah bahwa energi total assembly energi sistem nilainya tetap, dan apabila tidak terjadi interaksi antara setiap sistem ataupun komponen dalam sistem. Untuk assembly dimana terjadi interaksi di dalamnya, maka bentuk perumusannya menjadi lain.

5.      GAS IDEAL KLASIK

Gas ideal klasik dalam hal ini adalah suatu assembly yang terdiri dari sejumlah sistem dimana molekul-molekulnya tidak saling berinteraksi, dapat dibedakan antara yang satu dengan lainnya. Jelaslah bahwa untuk gas ideal klasik berlaku statistik Maxwell Boltzmann.

Untuk menganalisis lebih jauh perilaku gas ideal klasik, akan sangat mudah dilakukan jika kita menyatakan distribusinya dalam beberapa variabel. Distribusi yang sudah kita nyatakan adalah distribusi energi yang menyatakan ungkapan matematik dalam bentuk fungsi bagaimana partikel tersebar dengan energi berada diantara  dan . Kita juga dapat menyatakan distribusi dalam momentum atau kelajuan.

Elemen ruang fase yang bersesuaian dengan volume = dxdydz dan total momentum dalam interval dan adalah

Volume ruang fase yang bersesuaian dengan kecepatan total dalam interval  dan  diperoleh dengan melakukan substitusi . Jadi

Substitusi nilai dalam persamaan 2.57 dan nyatakan , maka akan diperoleh distribusi momentum dan kecepatan

dan

Untuk menyatakan distribusi energi, kita harus menuliskan energi dalam bentuk  atau , sehingga

Persamaan di atas dikenal dengan distribusi kecepatan Maxwell-Boltzmann, dan grafiknya disajikan dalam gambar berikut untuk berbagai harga temperatur.

 

Distribusi kecepatan gas dapat juga dinyatakan dalam komponen-komponen kecepatan molekul  dan . Oleh karena , dst. Maka elemen ruang fase untuk kecepatan yang berada dalam interval  dan ,  dan  serta  dan  adalah

Maka:  

    

                                               

                                     

Dimana energi telah kita nyatakan dengan .

Jumlah molekul yang memiliki komponen dan , demikian pula dengan komponen kecepatan lainnya, dapat dilakuan dengan melakukan integrasi terhadap nilai  dan . Jadi

                

                                  

                                   

                                    

Dengan menggunakan fungsi khusus,

Bentuknya mirip dengan yang kita peroleh sebelumnya. Untuk komponen lainnya kita tinggal mengganti indeksnya saja.

Jika fungsi distribusi peluang  didefenisikan dengan  sedemikian sehingga  adalah peluang bahwa komponen kecepatan dalam arah -x  berada dalam interval dan

Fungsi peluang yang bersesuaian dengan ketiga komponen kecepatan adalah

                                         

Dimana adalah peluang molekul dengan komponen kecepatan dengan nilai diantara dan , dan , serta dan .

6.      Kesimpulan

Statistika Maxwell-Boltzmann sering

digambarkan sebagai statistika bagi partikel klasik yang “terbedakan”. Sistem partikel klasik terbedakan merupakan sistem partikel yang konfigurasinya berbeda ketika dua atau

lebih partikel dipertukarkan. Dengan kata lain, konfigurasi partikel A di dalam keadaan 1 dan partikel B di dalam keadaan 2 berbeda dengan konfigurasi ketika partikel B berada dalam keadaan 1 sedangkan partikel A dalam keadaan 2.

Statistika Maxwell-Boltzmann juga berguna untuk mempelajari berbagai sifatgas. Secara matematis distribusi Boltzmann lebih umum dikenal sebagai Pengukuran Gibbs. Distribusi Boltzmann sering menggunakan lambang β = 1/kT dimana β adalah sebagai Beta termodinamika. Lambang atau ,yang memberikan kemungkinan relatifdarisuatu keadaan.  Pada saat energi partikel hanya berupa energi kinetic. 

Dapat disimpulkan bahwa distribusi yang diberikan adalah Distribusi Maxwell– Boltzmann yang menyatakan kecepatan molekul gas, sesuai dengan yang telah diramalkan oleh Maxwell pada tahun 1859. Gas ideal klasik adalah suatu assembly yang terdiri dari sejumlah system dimana molekul-molekulnya tidak saling berinteraksi, dapat dibedakan antara yang satu dengan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa untuk gas ideal klasik berlaku statistic Maxwell Boltzmann.

Daftar Pustaka

Greiner,W., L. Neise, dan H. St矣cker, 1995,

Thermodynamics and Statistical Mechanics,

Springer Verlag, New York

Huang, K., 1965, Statistical Mechanics, JohnWilley & Sons, New York

Mandl, F., 1971, Statistical Physics, hal. 310,

John Wiley & Sons Ltd., London

Sears, F.W. dan G.L. Sallinger, 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and Statistical Thermodynamics, Addison-Wesley, Massachusets__

widya57physicsedu.wordpress.comwidya57physicsedu.wordpress.com